各位老铁们，大家好，今天由我来为大家分享secx等于什么—secx等于什么的导数，以及的相关问题知识，希望对大家有所帮助。如果可以帮助到大家，还望关注收藏下本站，您的支持是我们最大的动力，谢谢大家了哈，下面我们开始吧！

那我们怎么来求出这个切线的斜率呢？我们首先在函数图像上取两点

P0(x0,y0)和P(x0+△x,y0+△y)

这里y0=f(x0)，y0+△y=f(x0+△x)

△y=f(x0+△x)-y0=f(x0+△x)-f(x0)

连接直线P0P，这里P0P就是函数图像的一条割线。当△x→0的时，x0+△x→x0，点P也就逐渐趋近于点P0，割线P0P趋近于过点P0的切线，割线P0P的斜率也就趋近于这条切线的斜率。这个过程的极限值就是函数在点x0的导数。

割线P0P的斜率等于

[(y0+△y)-y0]/[(x0+△y)-x0]

=△y/△x

过点P0的切线的斜率

k=y′(x0)=f′(x0)

=lim(△y/△x)，△x→0

=lim{[f(x0+△x)-f(x0)]/△x}

函数y=f(x)在定义域内每一个点的导数所构成的函数称为函数的导函数，记为y′=f′(x)。

y′=y′(x)=f′(x)=lim(△y/△x)

=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}，△x→0

我们把自变量x的增量△x用dx表示，称为自变量的微分；把因变量y的增量△y用dy表示，称为因变量的微分。那么导函数又可以表示为：

y′=y′(x)=f′(x)=dy/dx，dy=f′(x)dx

我们首先来求幂函数的导数

对于n∈N*，△x→0

(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}

根据二项式定理：

(a+b)^n=Σ[C(n,r)×a^(n-r)×b^r]r=0，1，2，…，n

(x+△x)^n-x^n

=[x^n+nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]-x^n

=nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n

(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}

=lim{[nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]/△x}

=lim[nx^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)(△x)+…+(△x)^(n-1)]，△x→0

=nx^(n-1)+0+…+0=nx^(n-1)

(x^n)′=nx^(n-1)，n∈N*

也可以写成：y=x^n

y′=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1)

dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx

利用后面将要证明的

(e^x)′=e^x，[ln(x)]′=1/x

我们还可以将以上结论中的正整数n拓展到任意实数α。

根据对数恒等式

x=e^(lnx)

x^α=[e^(lnx)]^α=e^(αlnx)

(x^α)′=[e^(αlnx)]′=e^(αlnx)×(αlnx)′

=x^α×α×(lnx)′

=αx^α×(1/x)=αx^(α-1)

(x^α)′=αx^(α-1)，α∈R

根据拓展到实数域的结论，我们可以很快得出几个常见导数。

(x)′=(x^1)′=1×x^(1-1)=x^0=1

(x^2)′=2×x^(2-1)=2×x^1=2x

(1/x)′=[x^(-1)]′=(-1)×x^(-1-1)

=-x^(-2)=-1/(x^2)

(√x)′=[x^(1/2)]′=(1/2)×x^(1/2-1)

=[x^(-1/2)]/2=1/(2√x)

(C)′=(Cx^0)′=C(x^0)′

=C[0×x^(0-1)]=C×0=0

C为任意常数

(x)′=1，(x^2)′=2x，(1/x)′=-1/(x^2)

(√x)′=1/(2√x)，(C)′=0

接下来我们来讨论指对数函数的导数，我在前面的文章中已经详细讨论了利用自然常数e的定义，可以证明(e^x)′=e^x。

由于证明过程比较复杂，有兴趣的朋友可以前往我的主页翻看一下。

文章链接：

https://www.toutiao.com/article/7197230973258678822/

(e^x)′=e^x

利用这个结论，我们就可以求出以e为底的自然对数函数y=lnx的导数

y(x)=ln(x)，x=e^y(x)

利用复合函数求导法则

(x)′=[e^y(x)]′=[e^y(x)]×y′(x)

1=x×y′(x)

y′(x)=[ln(x)]′=1/x

进一步对于任何底数a＞0且a≠1的指数函数y=a^x求导

y(x)=a^x

ln[y(x)]=ln(a^x)=xlna

{ln[y(x)]}′=(xlna)′

[1/y(x)]×y′(x)=lna×(x)′=lna×1=lna

y′(x)=y(x)lna=(a^x)lna

(a^x)′=(a^x)lna

同样对于一般对数函数求导

y=log(a,x)，a＞0且a≠1

根据换底公式

[log(a,x)]′=(lnx/lna)′=(lnx)′/lna

=(1/x)/lna=1/(xlna)

[log(a,x)]′=1/(xlna)

指对数函数的导数就讨论到这里，接下来我们来讨论三角函数的导数。

首先来求正弦函数y=sinx的导数

根据两角和差公式

(sinx)′，△x→0

=lim[sin(x+△x)-sinx]/△x

=lim[sinxcos(△x)+cosxsin(△x)-sinx]/△x，△x→0

=lim[sinx+cosxsin(△x)-sinx]/△x

=lim[cosxsin(△x)/△x]

=cosxlim[sin(△x)/△x]，△x→0

根据重要极限

lim(sinx/x)=1，x→0

lim[sin(△x)/△x]=1，△x→0

(sinx)′=cosxlim[sin(△x)/△x]

=cosx×1=cosx，△x→0

(sinx)′=cosx

类似地，我们还可以求得

(cosx)′=-sinx

(tanx)′=(secx)^2

(cotx)′=-(cscx)^2

最后我们来对反三角函数求导，我们以反正弦函数为例：

y=arcsinx，x=siny

dx/dy=d(siny)/dy=(siny)′=cosy

注意到arcsinx∈[-1,1]⊆(-π/2,π/2)

cosy=cos(arcsinx)＞0

dx/dy=cosy=√(cosy)^2

=√[1-(siny)^2]=√(1-x^2)

y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)

=1/√(1-x^2)

(arcsinx)′=1/√(1-x^2)

类似地，我们还可以求得

(arccosx)′=-1/√(1-x^2)

(arctanx)′=1/(1+x^2)

(arccotx)′=-1/(1+x^2)

好了，关于基本初等函数的导数就介绍到这里。在整个推导过程中，运用到了多种不同的求导方法，值得大家认真体会。

总结一下，本文运用到的方法和知识点有：

导数定义、微分定义、二项式定理、复合函数求导法则、对数恒等式、反函数定义、自然常数e的定义、换底公式、两角和差公式、正弦重要极限、反三角函数定义等。

你绝对想不到，一个数学小白是怎么推导出，这么复杂的数学公式的

老黄虽然对数学非常有兴趣，但自知对数学探究尚未真正入门，完全可以说就是一个数学小白。但老黄在这方面却并无自知之明，依然对推导高等数学公式乐此不疲。

最近老黄推导了很多不定积分公式。当老黄研究到正弦余弦的幂积不定积分公式时，发现从它的递推公式，可以推出非常庞大的一套公式。需要分成很多种情况讨论。前面老黄分析到正割与正弦的幂积积分公式时，每次都只能探究其中的一个小部分。比如两个指数的差是一个偶数时的公式，以及两个指数的差是一个奇数，而正弦的指数又较小时的公式。此时还要分正弦指数的奇偶性两种情况，而且还有两个指数相差1的特殊情况。这个内容老黄已经有图文作品介绍，而视频作品则在《老黄学高数》系列学习视频第279讲中详细做了分析。

接下来，老黄要推导两个指数相差一个奇数的另外一种情况，就是正割的指数反而更小的情况。也要分成正割的指数是偶数或奇数的两种情况。由于正割的指数较小，所以我们要优先将正割进行降幂，这样公式中的阶乘就不会出现从正数乘到负数的情况。

而当正割偶幂时，每次降二次幂，最终就会把正割降为0次幂，从而得到正弦的正整数幂的不定积分。这个不定积分的公式在《老黄学高数》第264、267、274三讲都有介绍，也就是说，有三种推导的方法。这样就可以得到这种情况下的积公公式了。不像正弦的指数较小时一样，这里并不会有两个指数相差1的特殊情况。

接下来做一道例题：例1：求∫(secx)^4*(sinx)^7dx.

结果老黄已经检验过了，检验的过程相当麻烦，但也很有趣，有兴趣可以试一试。

当正割奇幂时，情况就变得相当复杂了。因为将正割降到1次幂之后，就无法再继续降下去了。而正割是1次幂时，乘以正弦的幂，老黄并没有找到积分公式可以直接运用。当然，我们可以在这个基础上，对正弦进行降幂，一直降到0次幂，就会得到正割的不定积分，从而可得到最终的公式。这样就把公式的推导分成两大步，两步之间互不干扰，所以不用担心最终公式中各系数受到干扰的问题。这种方法是可行的，但得到的公式是相当复杂的。

另外一种方法是利用sin^2=1-cos^2，把不定积分化成众多不定积分形成的多项式。这种方法肯定会比两步法复杂得多，因此也不可取。老黄这里还是运用两步法，但与上面提到的两大步不同。老黄先对正弦进行降幂，一直降到反而比正割的指数小1为止。这样就可以运用上面提到的正弦指数较小时，指数差等于1的特殊情况的公式，得到最后的公式。

当然这个方法也是极其复杂的。这样的公式，要是一下子就能推导正确，那可真是祖坟冒青烟了，你都不知道老黄这个数学小白是多艰苦才做到的。由于这里是两个公式的结合，所以有很多相同形式的参数代表不同的值，因此需要将它们转化统一，这也是相当麻烦的一步工作。另外之所以最后的分子中有一个绝对值的阶乘，是因为按这个公式，如果不加绝对值，最后会出现一个(-1)!!，在这里是没有意义的。而且它的作用是约掉分母中的(n-m)!!的某些项而己，因此在出现(-1)!!时，强行转化成1!!，就可以了。

最后再看一道例题：例2：求∫(secx)^3*(sinx)^6dx.

由于解题过程中，还要运用正割的3次幂的积分公式，这是《老黄学高数》第268讲和第275讲介绍的。所以这里其实综合了三个复杂的积分公式，你可以想像一下出错的概率有多高。像老黄这样的数学小白，不出错那才是太阳从西边升起了呢。

文章分享结束，secx等于什么—secx等于什么的导数和的答案你都知道了吗？欢迎再次光临本站哦！

用户评论

◆乱世梦红颜

这篇文章帮了我大忙！我本来对三角函数的导数不太理解，没想到这么简单！SECX 的概念我以前就懂了，现在知道它的导数是就是 tan(x)sec(x)，简直太棒了！

    有19位网友表示赞同！

留我一人

突然发现很多微积分的概念其实都很有趣，像secx这种看上去很复杂的东西，导出来的结果竟然这么简单。感觉学习微积分需要慢慢积累知识和理解。

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风中摇曳着长发

这篇博文写得太明白了！以前总是把 secx 带入到其他公式里计算，搞得自己头疼，现在知道了它的导数直接用 tan(x)sec(x)，真是太高效了！

    有9位网友表示赞同！

孤者何惧

我觉得这个说法不太准确。secx 是余弦的倒数，它本身就是个复杂的函数，不应该简单地把它导出来就算完了。

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凉凉凉”凉但是人心

作者说secx等于什么的导数是tan(x)sec(x)，这的确是正确的。但我个人觉得应该解释一下这个公式是怎么来的，这样更容易理解。例如，我们可以先讨论secx的定义，然后通过一些简单的运算来推導出它的导数。

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青墨断笺み

微积分好难啊！我实在看不明白怎么求得sec(x)的导数。感觉我的数学基础不太牢固

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凉笙墨染

这个公式太神奇了！tan(x)sec(x)，简直是微积分中最优雅的公式之一。

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挽手余生ら

这篇文章太简单太浅层了！它只讲了sec(x)的导数，却忽略了其他重要的信息，比如它的定义域、图像等。我觉得一个完整的教程应该包含更深入的内容。

    有7位网友表示赞同！

开心的笨小孩

求解 sec(x) 的导数需要一定的数学基础，并不是所有人的数学能力都能理解这种方法。我希望作者能够提供一些更容易理解的解释或例子。

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抚涟i

我想知道为什么sec(x)的导数是tan(x)sec(x)，这个公式背后的原理是什么？

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站上冰箱当高冷

我以前学过三角函数和微积分，但是现在看到这篇文章我还是感觉有些陌生。也许是我理解能力太差了！

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不忘初心

这篇文章写的很简明易懂，对于初学者来说非常有用！感谢作者分享这种宝贵的方法。

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暮光薄凉

我需要学习一下sec(x)和tan(x)的区别是什么，这样才能更好的理解它的导数公式。

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淡抹丶悲伤

我想请问一下，如何求解更复杂的三角函数的导数呢？比如csc(x)或者cot(x)？

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醉枫染墨

这篇文章让我明白了很多知识，我感觉三角函数学起来也不那么困难了！

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醉婉笙歌

我觉得这篇博文做得真好，能帮我真正理解secx等于什么的导数。我已经记住了tan(x)sec(x)这个公式，相信今后会经常用到。

    有7位网友表示赞同！

半世晨晓。

我想要知道 sec x 和 cos x 的关系是什么？

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景忧丶枫涩帘淞幕雨

文章写的很好，通俗易懂，对于初学者很友好！不过我希望作者能够给出一些具体的例子和练习题目，这样更容易理解和记忆这些知识点。

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